UNIDAD 3 LOGICA MATEMATICA.

 BLOG UNIDAD 3 LÓGICA MATEMÁTICA

La lógica matemática es el lenguaje universal de las matemáticas discretas y, en general, de la computación. Desde el razonamiento deductivo hasta la demostración de propiedades, los conceptos como la lógica proposicional , la lógica de predicado , el álgebra declarativa y la inducción matemática tienen aplicaciones prácticas y profundas en el desarrollo de sistemas computacionales.

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 Lógica Proposicional: 

La lógica proposicional es el primer paso en la lógica formal. Aquí trabajamos con proposiciones , que son declaraciones que pueden ser verdaderas o falsas, pero no ambas.

Ejemplo de proposición:

• "El cielo es azul." (Verdadero)
• "5 es mayor que 10." (Falso)

Operadores lógicos básicos:

• Negación ( $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\neg \; </span></span></span></span></span></span>}\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">pag</span></span></span></span></span></span>}$ \neg p ):Cambia el valor de verdad de la proposición.
• Conjunción ( $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">pag\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\wedge \; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">q</span></span></span></span></span></span>}$ p \ tierra q ):Es verdadero solo si$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; pag</span></span></span></span></span></span>}$ pag y$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; q</span></span></span></span></span></span>}$ q son verdaderas.
• Desilusión ( $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">pag\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\vee \; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">q</span></span></span></span></span></span>}$ p\lor q ):Es verdadera si al menos una de las dos es verdadera.
• Implicación ( $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">pag\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\to \; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">q</span></span></span></span></span></span>}$ p\aq ):Representa "si$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; pag</span></span></span></span></span></span>}$ pag , entonces$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; q</span></span></span></span></span></span>}$ q ".
• Bicondicional ( $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">pag\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\leftrightarrow \; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">q</span></span></span></span></span></span>}$ p \flecha izquierda derecha q ):¿Es verdad cuando$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; pag</span></span></span></span></span></span>}$ pag? y$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; q</span></span></span></span></span></span>}$ q tienen el mismo valor de verdad.

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Aplicaciones en la computación:

1. Diseño de circuitos digitales: Los operadores lógicos representan comportamientos de puertas lógicas como AND, OR, y NOT.
2. Verificación de software: El razonamiento proposicional es útil para probar que un programa cumple ciertas condiciones.
3. Sistemas expertos: Reglas lógicas permiten tomar decisiones automáticas basadas en proposiciones.

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 Lógica de Predicado: 

Mientras que la lógica proposicional funciona con proposiciones simples, la lógica de predicado permite expresar propiedades más generales usando cuantificadores y predicados .

Ejemplo de lógica de predicado:

• "Para todos $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita</span></span></span></span></span></span>}$ incógnita , si$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; incógnita</span></span></span></span></span></span>}$ incógnita es par entonces$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; incógnita</span></span></span></span></span></span>}$ incógnita es divisible por 2."
  Esto se escribe como:

$$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\forall \; </span></span></span></span></span></span>}\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita\; </span></span></span></span></span></span>}$$( PAG ( incógnita ) → Q ( incógnita ) ) \para todo x \, (P(x) \a Q(x))

Aquí:

• $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\forall </span></span></span></span></span></span>}$ \para todos : Cuantificador universal, significa "para todo".
• $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">PAG\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span></span></span>$ P(x) :$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; incógnita</span></span></span></span></span></span>}$ incógnita es par.
• $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">Q\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span></span></span>$ Q(x) :$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; incógnita</span></span></span></span></span></span>}$ incógnita es divisible por 2.

Tipos de cuantificadores:

• Cuantificador universal ( $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\forall </span></span></span></span></span></span>}$ \para todos ):Indica que la propiedad es válida para todos los elementos de un dominio.
• Cuantificador existencial ( $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\exists </span></span></span></span></span></span>}$ \existe ):Indica que al menos un elemento cumple la propiedad.

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Aplicaciones en computación:

1. Bases de datos: Las consultas en SQL, como "todos los empleados con salario mayor a 50,000", tienen su base en lógica de predicado.
2. Inteligencia artificial: Representación de conocimiento y razonamiento en sistemas como Prolog.
3. Verificación formal: Pruebas automáticas en lenguajes como Coq o Isabelle.

Álgebra Declarativa:

El álgebra declarativa es un enfoque para resolver problemas expresándolos como declaraciones lógicas. En lugar de definir cómo resolver el problema, simplemente declaramos lo que queremos que se cumpla.

Ejemplo:
En programación lógica como Prologo , puedes definir:

prólogo

madre(X, Y) :- mujer(X), padre(Z, Y), pareja(X, Z).

Esto indica que $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita</span></span></span></span></span></span>}$ incógnita es madre de$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; Y</span></span></span></span></span></span>}$ Y si$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; incógnita</span></span></span></span></span></span>}$ incógnita es mujer,$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; O</span></span></span></span></span></span>}$ O es padre de$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; Y</span></span></span></span></span></span>}$ Y , y$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; incógnita</span></span></span></span></span></span>}$ incógnita y$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; O</span></span></span></span></span></span>}$ O son pareja.

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Aplicaciones en computación:

1. Lenguajes declarativos: Prolog, SQL y lenguajes de programación funcional como Haskell.
2. Resolución automática: Usado en inteligencia artificial para resolver problemas complejos.
3. Optimización: Expresión de restricciones y objetivos en problemas como planificación o diseño de redes.

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Inducción Matemática: 

La inducción matemática es una técnica para demostrar que una proposición es verdadera para todos los números naturales (o cualquier conjunto definido inductivamente).

Pasos de la inducción:

1. Base: Demostrar que la proposición es verdadera para un caso inicial (generalmente $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">norte\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1</span></span></span></span></span></span>}$ n = 1 ).
2. Paso inductivo: Suponer que es verdadera para $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">norte\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a</span></span></span></span></span></span>}$ n = k y demostrar que también es verdadero para$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; norte\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1</span></span></span></span></span></span>}$ n = k+1 .

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Ejemplo:

Demostrar que la suma de los primeros $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">norte</span></span></span></span></span></span>}$ norte numeros naturales es:

$${\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">S\; </span></span></span></span></span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">norte</span></span></span></span></span></span>}}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; =\; </span></span></span></span></span></span>\frac{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">norte\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">norte\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span></span></span>}{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 2</span></span></span></span></span></span>}}\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; .</span></span></span></span></span></span>}$$ S_n = \frac{n(n+1)}{2}.

Base: Para $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">norte\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1</span></span></span></span></span></span>}$ n = 1 ,${\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; S1</span></span></span></span></span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"></span></span></span>}}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span></span></span>$1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 S_1= 1(1+1)}{2} = 1 . Verdadero.

Paso inductivo: Suponer que ${\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">S\; </span></span></span></span></span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a</span></span></span></span></span></span>}}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; =\; </span></span></span></span></span></span>\frac{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span></span></span>}{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 2</span></span></span></span></span></span>}}$ S_k = \frac{k(k+1)}{2}Es verdad. Probar para $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1</span></span></span></span></span></span>}$ k+1 :

$${\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">S\; </span></span></span></span></span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1</span></span></span></span></span></span>}}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; =\; </span></span></span></span></span></span>{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">S\; </span></span></span></span></span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a</span></span></span></span></span></span>}}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; +\; </span></span></span></span></span></span><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)\; </span></span></span></span></span></span><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span></span></span>\frac{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span></span></span>}{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 2</span></span></span></span></span></span>}}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; +\; </span></span></span></span></span></span><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">.</span></span></span></span></span></span>}$$ S_{k+1} = S_k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1).

Factorizamos y obtenemos:

$${\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">S\; </span></span></span></span></span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1</span></span></span></span></span></span>}}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; =\; </span></span></span></span></span></span>\frac{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)\; </span></span></span></span></span></span><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">2\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span></span></span>}{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 2</span></span></span></span></span></span>}}\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; .</span></span></span></span></span></span>}$$ S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}.

Por lo tanto, es verdadero para $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1</span></span></span></span></span></span>}$ k+1 .

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Aplicaciones en computación:

1. Algoritmos recursivos: La inducción matemática ayuda a probar la corrección y complejidad de algoritmos.
2. Lenguajes formales: Pruebas de propiedades de gramáticas y autómatas.
3. Seguridad informática: Validación de sistemas de encriptación y protocolos.

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 Algunas aplicaciones de la Lógica Matemática en Computación

La lógica matemática es la base de muchas áreas en ciencias de la computación:

• Diseño de algoritmos: Usamos lógica para razonar sobre los pasos de un programa.
• Compiladores: La lógica formal es clave para construir gramáticas y analizadores.
• Lenguajes de programación: Lenguajes declarativos como SQL o Prolog se basan en lógica matemática.
• Inteligencia artificial: Representación de conocimiento, razonamiento automatizado y sistemas expertos.

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Lógica Proposicional, Lógica de Predicados, Álgebra Declarativa e Inducción Matemática.

 .

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Lógica proposicional

La lógica proposicional , también cono verdaderos o * falsos . Esta lógica establece las reglas para combinar propuestas Y , O , NO , **IM IMPLICA , etc.

Componentes Básicos de la Lógica Proposicional:

1. Proposiciones: Son afirmaciones que pueden ser verdaderas o falsas. Por ejemplo:

   • "La T
   • "El sol es verde" (una

2. Conectivos Lógicos: Son operadores que permiten combinar proposiciones simples en proposiciones más complejas. Los principales conectivos son:

   • Conjunción (AND): ( p \wedg $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">pag\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\wedge \; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">q</span></span></span></span>}$ p \cuña q , es verdad$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; pag</span></span></span></span>}$ pag y$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; q</span></span></span></span>}$ q son verdaderas.
   • Disyunción (OR): $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">pag\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\vee \; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">q</span></span></span></span>}$ p \vee q , es verdad si al$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; pag</span></span></span></span>}$ pag o$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; q</span></span></span></span>}$ q es verdadero
   • Negación (NO): $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\neg \; </span></span></span></span>}\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">pag</span></span></span></span>}$ \neg p , cambia el valor de verdad de la propos$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; pag</span></span></span></span>}$ pag .
   • Condicional (IMPLICA): ( p \rightarr $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">pag\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\to \; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">q</span></span></span></span>}$ p \flecha derecha q , es falso solo si$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; pag</span></span></span></span>}$ pag es$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; q</span></span></span></span>}$ q es falsa.
   • Bicondicional (SI Y SOLO SI): ( p \leftrightarrow q $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">pag\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\leftrightarrow \; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">q</span></span></span></span>}$ p \flecha izquierda derecha q , es verdadero solo si$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; pag</span></span></span></span>}$ pag y$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; q</span></span></span></span>}$ q tienen

3. Tablas de Verdad: Son una herramienta que permite analizar todas las combinaciones posibles

Ejemplo:

La proposición "Si llueve, entonces me mojaré" se representa como $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">pag\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\to \; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">q</span></span></span></span>}$ p \flecha derecha q , donde$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; pag</span></span></span></span>}$ pag es "Llueve" y \$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; q</span></span></span></span>}$ q es "Me mojaré".

Aplicaciones en Computación:
La lógica proposicional se usa circuitos digitales , algoritmos de decisión , y en la implementación de condiciones de programación . Los lenguajes de programación como C y Python usan la lógica proposicional para evaluar condiciones en estructuras como if y while .

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Lógica de predicados

La lógica de predicados es una extensión de la lógica proposicional que permite variables , predicados y cuantificadores .

Componentes de la Lógica de Predicados:

1. Predicados: Son funciones que devuelven un valor de verdad y que se aplican a uno o más elementos del dominio. Ejemplo:

   • $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">PAG\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)\; </span></span></span></span><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">:\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita\; </span></span></span></span>}\text{<span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"> es un n </span></span></span></span>}\stackrel{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">ˊ</span></span></span></span>}{\text{<span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;">tú </span></span></span></span>}}\text{<span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"> mero primo</span></span></span></span>}$ P(x): x \text{ es un número primo}, donde ($\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">PAG</span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita</span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span>$P(x) es el predicado "x es un número primo".

2. Variables: Son símbolos que representan objetos o elementos en un dominio. Por ejemplo, en $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">PAG\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span>$ P(x) ,$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; incógnita</span></span></span></span>}$ incógnita es una variable.

3. Cuantificadores:

   • Cuantificador Universal ( $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\forall </span></span></span></span>}$ \para todos ):Expresa que una propiedad$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; \forall \; </span></span></span></span>}\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita\; </span></span></span></span>}$PAG ( incógnita )  \para todo x \, P(x) , que significa "Para todo \$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; incógnita</span></span></span></span>}$ incógnita ,$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; incógnita</span></span></span></span>}$ incógnita es un número primo".
   • Cuantificador existencial ( $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\exists </span></span></span></span>}$ \existe ):Expres$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; \exists \; </span></span></span></span>}\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita\; </span></span></span></span>}$PAG ( incógnita )  \existe x \, P(x) , que significa$$ incógnita $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita</span></span></span></span>}$ tal cual$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; incógnita</span></span></span></span>}$ incógnita es un número primo".

Ejemplo:

La proposición "Todos los humanos son mortales" se puede representar en lógica de predicados como:

$$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\forall \; </span></span></span></span>}\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita\; </span></span></span></span>}$$( yo ( incógnita ) → METRO ( incógnita ) )  \para todo x \, (H(x) \rightarrow M(x))

Dónde:

• $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">yo\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span>$ H(x) significa "x es humano".
• $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">METRO\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span>$ M(x) significa "x es mortal".
• $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\forall \; </span></span></span></span>}\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">incógnita</span></span></span></span>}$ \para todo x indica que la proposición es verdadera para todo$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; incógnita</span></span></span></span>}$ incógnita .

Aplicaciones en Computación:
La lógica de predicados se utiliza en sistemas expertos y lenguajes de programación lógica como Prolog , para representar y procesar reglas complejas, inferencias automáticas y relaciones entre datos.

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Álgebra declarativa

El álgebra declarativa es un enfoque en el que las operaciones se describen en términos de los resultados deseados en lugar de los pasos específicos para alcanzarlos. Esto se aplica en el álgebra relacional , que es fundamental para trabajar con bases de datos.

Operaciones Principales del Álgebra Relacional:

1. Selección ( $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\sigma </span></span></span></span>}$ \sigma ):Filtra las tuplas de una relación que cumplen con una condición específica.
   Ejemplo:${\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; \sigma \; </span></span></span></span>}}_{\text{<span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;">edad </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">>\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">30</span></span></span></span>}}$ \sigma_{\text{edad} > 30}selecciona todas las tuplas con personas mayores de 30 años.

2. Proyección ( $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\pi </span></span></span></span>}$ \pi ):Extrae columnas específicas de una relación.
   Ejemplo:${\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; \pi \; </span></span></span></span>}}_{\text{<span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;">nombre </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">,\; </span></span></span></span>\text{<span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;">Salario</span></span></span></span>}}$ \pi_{\text{nombre}, \text{salario}}proyecta solo los nombres y salarios.

3. Unión ( $<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\cup </span></span></span></span>$ \taza ):Combina dos relaciones con el mismo esquema.

4. Intersección ( $<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\cap </span></span></span></span>$ \tapa ):Devuelve las tuplas comunes entre dos relaciones.

5. Diferencia ( $<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">-</span></span></span></span>$ - ):Devuelve las tuplas que están en una relación pero no en otra.

Ejemplo de Álgebra Relacional:

Imagina una base de datos con empleados:

Nombre	Edad	Salario
Ana	28	2500
Juan	35	3000
Laura	45	3200
Pablo	25	2200

Si queremos todos los empleados mayores de 30 años y proyectar sus nombres y salarios, usamos álgebra relacional:

$${\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\sigma \; </span></span></span></span>}}_{\text{<span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;">Edad </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">>\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">30</span></span></span></span>}}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; (\; </span></span></span></span>{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\pi \; </span></span></span></span>}}_{\text{<span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;">Nombre </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">,\; </span></span></span></span>\text{<span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;">Salario</span></span></span></span>}}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; (\; </span></span></span></span>\text{<span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;"><span style="vertical-align: inherit;">Empleados </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)\; </span></span></span></span><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span>$$ \sigma_{\text{Edad} > 30} (\pi_{\text{Nombre}, \text{Salario}}(\text{Empleados}))

Aplicaciones en Computación:
El álgebra declarativa es esencial en consultas de bases de datos , especialmente en SQL . Se utiliza para manipular y consultar grandes volúmenes de datos sin tener que especificar cómo se realiza la operación a nivel bajo.

 Inducción Matemática

La inducción matemática es una técnica poderosa utilizada para probar que una proposición es cierta para todos los números naturales. Se basa en dos pasos fundamentales:

1. Base de la inducción: Se prueba que la proposición es cierta para el primer valor (generalmente $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">norte\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span></span></span>}$ n = 0 el$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; norte\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1</span></span></span></span>}$ n = 1 ).

2. Hipótesis de inducción: Se supone que la proposición es cierta para un valor arbitrario $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a</span></span></span></span>}$ a .

3. Paso inductivo: Se demuestra que, si la proposición es cierta para $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a</span></span></span></span>}$ a , también entonces lo es para$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; a\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1</span></span></span></span>}$ k+1 .

Ejemplo:

Demostrar que la suma de los primeros $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">norte</span></span></span></span>}$ norte números naturales es igual a$\frac{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; norte\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">norte\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span>}{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 2</span></span></span></span>}}$ \frac{n(n+1)}{2}:

1. Base: Para $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">norte\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1</span></span></span></span>}$ n = 1 , la proposición es$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 1\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span>\frac{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span>}{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 2</span></span></span></span>}}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; =\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1</span></span></span></span>}$ 1 = 1(1+1)}{2} = 1 , lo cual es cierto.
2. Hipótesis: Supongamos que la proposición es cierta para $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">norte\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a</span></span></span></span>}$ n = k , es decir,$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 1\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">2\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\cdots \; </span></span></span></span><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span>\frac{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span>}{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 2</span></span></span></span>}}$ 1 + 2 + \puntos + k = \frac{k(k+1)}{2}.
3. Paso inductivo: Se debe demostrar que la proposición es cierta para $\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">norte\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1</span></span></span></span>}$ n = k + 1 , es decir,$\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 1\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">2\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\cdots \; </span></span></span></span><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)\; </span></span></span></span><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">=\; </span></span></span></span>\frac{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">1\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)\; </span></span></span></span><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">(\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">a\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">+\; </span></span></span></span>\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">2\; </span></span></span></span>}<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span></span></span>}{\mathrm{<span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;"><span\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 2</span></span></span></span>}}$ 1 + 2 + \puntos + k + (k+1) = \frac{(k +1)(k+2)}{2}.

Aplicaciones en Computación:
La inducción matemática se usa para demostrar la corrección de algoritmos , propiedades de estructuras de datos recursivas y análisis de complejidad algorítmica .

Aquí ya puse otra parte que seria lo mismo de todo .

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