UNIDAD 1 SISTEMAS NUMERACION.

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¡Bienvenido a matemáticas discretas para que todos los entiendan! Hoy exploramos los sistemas numéricos, sus conversiones y las operaciones básicas.

1. ¿Qué son los sistemas numéricos?

Los sistemas numéricos son formas de representar números utilizando diferentes bases. Aunque usamos el sistema decimal (base 10) en la vida diaria, en matemáticas discretas y computación es esencial trabajar con otros sistemas, como:

Binario (Base 2): Solo usa 0 y 1, es la base fundamental para las computadoras.
- Ejemplo: $101 1_{2}$ (binario) equivalente a $1 1_{10}$ (decimal).
Octal (Base 8): Usa los dígitos del 0 al 7.
- Ejemplo: $1 7_{8}$ (octal) equivalente a $1 5_{10}$ (decimal).
Hexadecimal (Base 16): Usa los números del 0 al 9 y las letras AF (A=10, B=11, ..., F=15).
- Ejemplo: $1 F_{16}$ (hexadecimal) equivalente a $3 1_{10}$ (decimal).

Cada sistema tiene su propósito: el binario es eficiente para computadoras, el hexadecimal es compacto para representar datos, y el octal se usa en ciertas aplicaciones como permisos de archivos en sistemas.

2. Conversión entre sistemas numéricos

De decimal a binario

El proceso consiste en dividir el número decimal entre 2 repetidamente, anotando los residuos:

Ejemplo: Convierte $23$ $23$ binarios:
1. $23 \div 2 = 11$ , residuo $1$ .
2. $11 \div 2 = 5$ , residuos $1$ .
3. $5 \div 2 = 2$ , residuo $1$ .
4. $2 \div 2 = 1$ , residuo $0$ .
5. $1 \div 2 = 0$ , residuo $1$ .

Lee los residuos de abajo hacia arriba: $23 = 1011 1_{2}$ .

De binario a decimal

Multiplica cada dígito binario por su correspondiente potencia de 2 y suma los resultados:

Ejemplo: Convertir $101 1_{2}$ un decimal:
$1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 8 + 0 + 2 + 1 = 1 1_{10}$ .

De decimal a hexadecimal

Divide entre 16 repetidamente y usa las equivalencias para los residuos mayores a 9:

Ejemplo: Convierte $125$ $125$ un hexadecimal:
1. $125 \div 16 = 7$ , residuo $13$ ( $13 = D13$ ).
2. Resultado: $= 7D_{16}$ .

De hexadecimal a binario

Convierte cada dígito hexadecimal a su equivalente en 4 bits binarios:

Ejemplo: Convertir $3 F_{16}$ $3er piso$ un binario:
- $3 = 0011$ años $F = 1111$ .
- Resultado: $3 F_{16} = 0011111 1_{2}$ .

3. Operaciones básicas en sistemas numéricos (SUMA, RESTA, MULTIPLICACION, DIVISION).

Suma en binario

Las reglas son simples:
- $0 + 0 = 0$
- $0 + 1 = 1$
- $1 + 1 = 10$ (lleva 1).
Ejemplo: Suma $10 1_{2} + 1 1_{2}$ :
```
reducción
   101
+   011
```
Resultado: $10 1_{2} + 1 1_{2} = 100 0_{2}$
------ 1000

Resta en binario

Usa el concepto de "préstamos":
- $0 - 1 = 1$ (pide prestado de la columna siguiente).
Ejemplo: Resto $101 0_{2} - 1 1_{2}$ :
```
reducción

   1010
-   0011
------
   1001
```
Resultado: $101 0_{2} - 1 1_{2} = 100 1_{2}$ .

Multiplicación en binario

Sigue las mismas reglas que en decimal, pero usando solo 0 y 1:

Ejemplo: Multiplica

10 1_{2} \cdot 1 1_{2}

reducción
   101
x   011
------
   101    (101 * 1)
  101     (101 * 1, desplazar a la izquierda)
------
  1111

Resultado:

10 1_{2} \cdot 1 1_{2} = 111 1_{2}

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Aplicaciones de los Sistemas Numéricos en la Computación.

¿Qué son los sistemas numéricos?

Un sistema numérico es un método para representar cantidades utilizando un conjunto de símbolos y reglas específicas. Los sistemas más comunes en computación son:

Binario (base 2): Utiliza solo los dígitos 0 y 1.
Octal (base 8): Utiliza los dígitos del 0 al 7.
Decimal (base 10): El sistema que usamos en la vida diaria, con dígitos del 0 al 9.
Hexadecimal (base 16): Utiliza los dígitos del 0 al 9 y las letras AF para representar los valores 10-15.

Importancia de los Sistemas Numéricos en Computación

Los sistemas numéricos son esenciales en la computación porque las computadoras funcionan de manera binaria. Todo, desde textos hasta imágenes y vídeos, se representa en forma de ceros y unos. Otros sistemas como el hexadecimal y el octal son útiles porque simplifican la representación del binario.

Aplicaciones Prácticas en la Computación

Representación de un Datos en Memoria

La memoria de una computadora está organizada en bits (binario) y bytes. Cada bit puede ser un 0 o un 1, y las combinaciones de estos bits representan diferentes valores.

Binario: Es el lenguaje nativo de las computadoras. Por ejemplo, el carácter 'A' se representa como 01000001en binario (en código ASCII).
Hexadecimal: Se utiliza para simplificar grandes cadenas binarias. Por ejemplo, el binario 11111111 es FF hexadecimal.

Operaciones Lógicas y Aritméticas

En computación, las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) se realizan en sistemas numéricos.

Sumas y restas en binario:
Ejemplo: $1010 + 1101 = 10111$ .
Operaciones lógicas:
Las puertas lógicas (AND, OR, NOT) operan directamente sobre valores binarios.

Codificación de colores

Los sistemas hexadecimales se utilizan para representar colores en diseño web y gráficos computacionales.

Ejemplo:
El color rojo puro se representa como #FF0000, donde FFes el valor máximo en hexadecimal.

Dirección de Memoria

El hexadecimal se utiliza para identificar direcciones en la memoria de una computadora.

Ejemplo:
Una dirección de memoria como 0x7FFFes mucho más fácil de leer que su equivalente en binario.

Redes y Comunicaciones

Las direcciones IP y las máscaras de red utilizan sistemas numéricos.

IPv4: Se representa en decimal (ej. 192.168.1.1).
Dirección MAC: Usa formato hexadecimal (ej. 00:1A:2B:3C:4D:5E).

Criptografía y seguridad

Los sistemas numéricos son fundamentales en la encriptación y los algoritmos de seguridad.

Ejemplo:
En criptografía, se utilizan grandes números binarios para generar claves de cifrado.

Sistemas Operativos y Compiladores

Los sistemas operativos manejan datos en binario para ejecutar programas y gestionar recursos.
Los compiladores convierten el código fuente en código binario ejecutable para el procesador.

Algoritmos y Compresión de Datos

En el diseño de algoritmos, los sistemas numéricos se utilizan para optimizar los cálculos y reducir el espacio.

Ejemplo:
Los algoritmos de Huffman usan estructuras binarias para comprimir datos de manera eficiente.

Ejemplo Real: Un Recorrido por el Ciclo de los Datos

Escritura de un texto:
Escribe "Hola". El texto se convierte a binario usando el código ASCII:
- H→01001000
- o→01101111
- l→01101100
- a→ 01100001.
Procesamiento:
El procesador usa operaciones binarias para realizar cálculos con esos datos.
Almacenamiento:
Los datos se guardan en memoria en formato binario, pero las direcciones de memoria se gestionan en hexadecimal para simplificar.
Visualización:
Los colores de los píxeles de la pantalla (si estás viendo un gráfico o texto) se representan en hexadecimal, como #FFFFFFpara blanco

En lo personal

Cuando empecé a estudiar sistemas numéricos, no entendía por qué aprender algo tan "teórico" era importante Pero al ver cómo los sistemas binarios, octales, decimales y hexadecimales están detrás de todo lo que hacemos en una computadora, ¡todo tuvo sentido!

y se veía fácil, pero me resulto un poco complicado al entender, el porque funciona todo así cuando comprendí y empecé a investigar mire que no era tal difícil como yo pensé.

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